변수, 다항식, 함수와 함수의 미분

변수(variables)

변수는 변하는 값을 나타내는 문자로, 미지수라고도 합니다.

 

- 스칼라 변수(scalar variable) : 단일 숫자를 나타내는 변수입니다. 소문자로 보통 표현을 합니다.

- 벡터 변수(vector variable) : 수하의 벡터를 나타내는 변수입니다.

- 행렬 변수(matrix variable) : 수학의 행렬을 나타내는 변수입니다. 대문자 이탤릭으로 표현합니다.

 

다항식과 계수

다항식(Polynomials)

- 여러 항의 합으로 이루어진 식을 다항식이라고 합니다. 각 항은 변수와 변수의 차수로 이루어집니다. 변수와 무관한 항을 상수항이라고도 합니다.

 

다항식의 종류

- 단변수(univariate) : 하나의 변수만으로 이루어진 다항식입니다.

- 다변수(multivariate) : 여러 개의 변수로 이루어진 다항식입니다.

- 단항식(monomial) : 하나의 항으로 이루어진 식입니다.

 

다항식의 계수(Coefficients)

다항식의 계수를 매개변수로 하여, 다양한 함수를 표현할 수 있습니다. 차수를 고정하여 모델을 정하고, 매개변수를 결정합니다. 특정 계수를 0으로 하여 차수를 조절할 수도 있습니다.

 

함수와 미분

함수(Functions)

일정 범위의 입력을 특정한 출력으로 대응시키는 관계를 나타내며, mapping이라고도 합니다. 대다일(many-to-one) 관계만이 함수가 될 수 있으며, 정의역은 입력이 되는 변수가 속하는 집단을 의미하고 치역은 출력이 되는 변수가 속하는 집단을 의미합니다.

 

함수의 합성(Function Composition)

두 함수를 하나의 함수로 결합하는 방법입니다. 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 하여 결합합니다. 일반적으로 결합 순서에 따라 결과가 달라집니다. 함수의 합성 순서에 따라 결과가 달라지므로, 순서에 유의하셔야 합니다.

 

역함수(Inverse Function)

어떤 함수의 입력과 출력이 뒤바뀐 함수입니다. 역함수가 존재하려면, 일대일(One-to-One) 대응이어야 합니다. 수식으로 정의하기 어려울 수 있으며, 수치적으로 계산하기도 합니다. 

 

미분(Derivative)

함수의 미분은 두 점을 연결한 직선 기울기의 극한으로 표현할 수 있습니다. 두 점 사이의 거리를 0에 가깝게 할 경우, 기준점의 미분(순간 기울기)를 알 수 있습니다. 미분의 값은 함수 곡선에 접하는 직선의 기울기와 같습니다.

 

미분의 수학적 특징

함수 f(x)를 변수 x로 미분한 것은 다음과 같이 표현합니다.

- df(x)/dx : 명시적으로 어떤 변수로 미분한 것인지 표현할 때, 사용합니다.

- f^1(x) : 어떤 변수로 미분한 것인지 자명할 때 사용합니다.

- 합의 미분은 미분의 합과 같습니다.

- 상수 배의 미분은 미분의 상수 배와 같습니다.

- 함수 곱의 미분은 각각 미분한 것을 곱해서 더한 것과 같습니다.

- 미분의 연쇄 법칙 --> f(g(x))' = f'(g(x))*g'(x)

 

주요 함수의 미분

자주 사용되는 함수들은 대부분 알려진 미분과 미분의 특징을 이용해서 미분할 수 있습니다. 상수의 미분은 0입니다.

- f(x) = 2x --> f'(x) = 2

- f(x) = e^x --> f'(x) = e^x

- f(x) = ln(x) -->f'(x) = 1/x

 

미분과 극값(extrema)

미분이 0이 되는 지점에서 극 값이 발생합니다. 미분이 음수에서 양수로 변화하면 극솟값, 양수에서 음수로 변화하면 극댓값을 가집니다.