[중1 수학] 소인수 분해 총정리(최대공약수, 최소공배수)

안녕하세요. 8톤 트럭입니다.

많은 분들이 소인수분해를 어려워하시는 것으로 알고 있는데 사실 소인수분해는 정말 간단합니다. 이번 시간에 저와 함께 정리해보는 시간을 가져보아요! 그럼 바로 레츠게릿!!

 

소인수분해란 무엇인가요?

소인수분해는 자연수를 소수인 인수의 곱으로 나타낸 것입니다. 정의가 무척이나 어려워보이지만 단어 하나하나 같이 알아보아요!!

 

소수 : 1과 자기 자신만 약수로 가지는 수 

 

ex1 )

2 = 2 X 1  --> 2의 약수로는 1과 2가 있음. 즉, 소수의 정의에 의해 2는 1과 자기자신만의 약수로 가지므로 소수!

ex 2 )

7 = 1 x 7 --> 7의 약수로는 1과 7이 있음. 즉, 소수의 정의에 의해 7도 소수이다!

 

소수에 대해서 간단하게 알아보았습니다. 이제는 인수에 대해서 알아봅시다. 인수는 어떤 다항식의 부분이라고 생각하시면 좋을 것 같아요. 여기서도 이렇게 말로만 설명하면 힘드니 예시를 들어보겠습니다.

 

ex 1) 8 = 1 x 8 = 2 x 4 --> 8의 인수로는 1,8,2,4가 있는 것이에요! 즉, 자연수를 두 자연수의 곱으로 나타내었을 때, 두 자연수가 원래 자연수의 인수입니다.

 

인수에 대해서 알아보았으니, 이제는 우리는 소인수에 대해서 알아보아야 합니다. 앞서 말씀드린 것처럼 인수 중에서 소수인 것을 소인수라고 하는데요. 그러니까, 소인수 분해는 1과 자기자신만의 약수로 가지는 약수의 곱으로 수를 분해하는 것이에요! 이렇게만 설명하면, 머리에 쥐가 나는 분이 계실 것으로 생각되네요. 한 번 예시를 들어보겠습니다.

 

소인수 분해의 예시

문제 1) 9를 소인수 분해하라.

9 = 3 x 3 --> 3은 소수입니다. 즉 , 소수인 두 수로 나타내었으니 9를 소인수분해하면, 3x3이 되는 것입니다.

 

문제 2) 12를 소인수 분해하라.

12 = 2 x 6 = 2 x 2 x 3 --> 6은 1,2,3,6을 인수로 가지고 있으므로, 소수가 아닙니다. 그렇기에 소수로 한 번 더 분해하면, 2x3이 됩니다. 즉, 12를 소인수분해 하면, 12 = 2 x 2 x 3이 되는 것입니다.

 

문제 3) 15를 소인수 분해하라.

15 = 1 x 15 = 3 x 5 --> 마찬가지로 3과 5는 소수입니다. 이렇게 소수의 곱으로 나타내는 것을 소인수 분해라고 합니다. 

 

Tip ) 소인수 분해를 원할히 계산하기 위해서는 소수를 어느정도 알고 계셔야합니다. 소수는 2,3,5,7,11,13,17,23 등이 있는데, 이 정도는 바로 입에서 말할 수 있도록 기억하고 계시는 것을 추천드립니다.

 

 

두 수의 소인수 분해를 통해서 최대공약수와 최소공배수 찾기

하나의 수에 대해서 소인수 분해를 했으니 이제는 두 개의 수의 소인수 분해를 통해서 최대공약수와 최소공배수를 찾는 시간을 가져보고자 합니다. 어려워 보여도 차근차근 따라오시면, 금새 터득하실 수 있으실 거에요! 우선 최대공약수와 최소공배수에 대해서 알아봅시다.

 

최대공약수 - 두 수의 공통된 약수 중 가장 큰 수

최소공배수 - 두 수의 공배수 중 가장 작은 것

 

이렇게만 알아보면 당연히 머리에 쥐가 나겠죠~ 예시를 통해서 같이 알아봅시다.

 

문제 1) 6과 12의 최소공배수와 최대공약수를 구하라.

우선 6과 12를 소인수분해 해봅시다. 

6 = 1 x 6 = 2 x 3

12 = 2 x 6 = 2 x 2 x 3

두 수를 소인수 분해 했으므로, 먼저 최소공배수부터 찾아봅시다.

공통된 약수를 우선 빼줍니다. 2와 3이 공통된 것이 보이는군요. 그러면 각각에서 2와 3을 빼줍시다.

6 --> 1 , 12 --> 2가 각각 되게 됩니다.

즉, 공통된 약수를 모두 뺐을 때 남은 2와 공통된 약수를 곱해주면 최소공배수가 나오게 됩니다.

2 x 2 x 3 = 12

다음은, 최대공약수를 구해봅시다. 최대 공약수는 공통된 약수 중 최대로 큰 수 인데요. 아까 앞서 공통된 수는 2와 3이라고 말씀드렸습니다. 그러므로 최대공약수는 2 x 3 = 6이 되게 됩니다.

정리하자면, 최소공배수 = 12 / 최대공약수 = 6이 되게 됩니다.

 

문제 2) 36과 72의 최소공배수와 최대공약수를 구하라.

두 수를 먼저 소인수 분해합시다.

36 = 1 x 36 = 2 x 18 = 2 x 2 x 9 = 2 x 2 x 3 x 3

72 = 1 x 72 = 2 x 36 = 2 x 2 x 18 = 2 x 2 x 2 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

공통된 수가 보이시나요? 2와 3이 각각 2개씩 공통되네요. 그러면, 먼저 최대공약수 부터 구해봅시다. 최대공약수는 공통된 수 중 가장 큰 수라고 말씀드렸습니다. 즉 2 x 2 x 3 x 3 =36이 최대공약수가 되는 것이죠. 이제는 최소공배수에 대해서 알아봅시다. 공통된 수를 구하고, 원래의 수에서 빼 준뒤 남은 수와 곱하면 되는 것이에요. 각각 2와 3의 두개씩 36과 72에서 빼게되면, 36 --> 1, 72 --> 2 가 남게 됩니다. 즉 최소공배수는 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72가 되게 됩니다. 정리하자면, 최대공약수 = 36 / 최소공배수 = 72

 

처음이시라면 어려울테지만, 여러 문제를 풀어보면서 익히시다보면 나중에는 눈 감고도 쉽게 푸실 수 있을 거에요. 수학은 연습이 참으로 중요한 학문이라는 생각이드네요. 조금은 힘들어도 꾸준히 공부하시길 바라요! 감사합니다!